Buenas tardes jovenes estudiantes. La tarea consiste en presentar una sintesis relativa a Espacios Vectoriales que contemple:
- Definición
- Importancia
- Aplicaciones
Esta sesión se cerrará el día Domingo 01/06/08´
Simón Bolivar (1814)"...Dios concede la vioctoria a la constancia"
Seccion: I-008-D Grupo Nº5 Carlos Armas - Danis Marquez
29 may 2008 | 01:55 AM
2º Corte - Profesora: Maria Guerrero. Algebra Lineal.
UNEFA - La Isabelica
Turno: Tarde
Seccion: I-008-D
Carrera: Ing. Petroleo
Aula: 20
Grupo: Nº 5
Integrantes:
Carlos Armas C.I.: 18.611.583
Danis Marquez C.I.: 18.613.039
Objetivo: Espacios Vectoriales
- Definicion de Espacios Vectoriales ( o Espacios Lineales)
* Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una estructura matemática llamada espacio vectorial.
*Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
- Importancia de Espacios Vectoriales ( o Espacios Lineales)
Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:
* En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.
* Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.
* Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach.
- Aplicaciones de Espacios Vectoriales ( o Espacios Lineales)
Aplicación lineal
La aplicación f establecida entre V y V' es una aplicación lineal u homomorfismo si verifica " " R y " u v " V:
*f (u + v) = f(u) + f(v)
*f (u) = f(u)
Tipos de aplicaciones lineales
*Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno)
*Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen)
*Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva)
*Endomorfismo: cuando V = V'
*Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.
Núcleo e imagen de una aplicación lineal
Dada la aplicación lineal f establecida entre V y V', llamamos núcleo de f -Ker(f)- al conjunto formado por aquellos elementos de V que tienen como imagen el vector 0 de V'
Llamamos conjunto imagen de f al conjunto de vectores de V' que son imagen de algún vector de V
Teoremas relativos a aplicaciones lineales
*Para que la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales sea aplicación lineal basta con que se verifique:
" , " R y " u,v " V f(u+v) = f(u) + f(v)
*f(0) = 0
*El núcleo y la imagen de una aplicación lineal son subespacios vectoriales respectivamente de los conjuntos inicial y final. A la dimensión del conjunto imagen se le llama rango de la aplicación lineal.
*Dada la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales V y V', si el conjunto S={u1, u2,…,un} es sistema generador de V, el conjunto S'={ f(u1), f(u2),…,f(un)}es sistema generador del conjunto imagen.
Enlaces de Espacios Vectoriales.
http://cnx.org/content/m12878/latest/
jayecsi hidalgo y manuela velasco
29 may 2008 | 03:58 PM
JAYECSI HIDALGO Y MANUELA VELASCO
Sección 008 de Ing. petróleo
aula:20
grupo:07
DEFINICION
Espacio vectorial Es un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo), si en él se han definido dos operaciones: la suma, +, como operación interna, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u+ v de V, y la multiplicación por escalares como operación externa, de manera que a todo elemento u ∈ V y a todo elemento a ∈ K le hace corresponder el elemento a • u ∈ V, que satisfacen las siguientes propiedades: (S1) (Conmutativa) u + v = v + u para todo u, v de V . (S2) (Asociativa) u + ( v + w) = ( u + v) + w para todo u, v, w de V . (S3) Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, tal que u+ 0 = u para todo u de V . (S4) Para todo u de V existe un elemento, designado por − u y denominado opuesto de u, tal que u + (− u) = 0. (M1) 1 • u = u para todo u de V , donde 1 denota el elemento unidad de K. (M2) (Seudoasociativa) a (b u) = (ab) u para todo u de V y todo a, b de K. (M3) (Distributiva respecto a la suma de escalares) (a + b) u = a u + b u para todo u de V y todo a, b de K. (M4) (Distributiva respecto a la suma de vectores) a ( u + v) = a u + a v para todo u, v de V y todo a de K. Cualquier conjunto Rn tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares R. No sólo los Rn tienen estructura de espacio vectorial, también la tiene el conjunto de matrices Mn×m, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b].... A partir de ahora nos centraresmos en espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales, K = R. 3.2.1 Propiedades de los espacios vectoriales Si V es un espacio vectorial, se verifica que: 1. Si u, v y w son elementos de V tales que u + w = v + w entonces u = v. 2. Si 0 es el elemento neutro de V y λ ∈ R entonces λ • 0 = 0. 3. Si v ∈ V entonces 0 • v = 0. 4. Si v ∈ V entonces −1 • v = − v que es el elemento opuesto de v. 5. Si v ∈ V y λ ∈ R tales que λ • v = 0 entonces o bien λ = 0 o bien v = 0.
IMPORTANCIA
Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular
APLICACIONES DEL ESPACIO VECTORIAL
Aplicación lineal
La aplicación f establecida entre V y V' es una aplicación lineal u homomorfismo si verifica " " R y " u v " V:
*f (u + v) = f(u) + f(v)
*f (u) = f(u)
Tipos de aplicaciones lineales
*Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno)
*Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen)
*Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva)
*Endomorfismo: cuando V = V'
*Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.
Núcleo e imagen de una aplicación lineal
Dada la aplicación lineal f establecida entre V y V', llamamos núcleo de f -Ker(f)- al conjunto formado por aquellos elementos de V que tienen como imagen el vector 0 de V'
Llamamos conjunto imagen de f al conjunto de vectores de V' que son imagen de algún vector de V
Teoremas relativos a aplicaciones lineales
*Para que la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales sea aplicación lineal basta con que se verifique:
" , " R y " u,v " V f(u+v) = f(u) + f(v)
*f(0) = 0
*El núcleo y la imagen de una aplicación lineal son subespacios vectoriales respectivamente de los conjuntos inicial y final. A la dimensión del conjunto imagen se le llama rango de la aplicación lineal.
*Dada la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales V y V', si el conjunto S={u1, u2,…,un} es sistema generador de V, el conjunto S'={ f(u1), f(u2),…,f(un)}es sistema generador del conjunto imagen.
yesika vega
1 jun 2008 | 03:35 PM
Nombre: Yesika Vega
C.I: 18.629547
Sección: 008 De Petróleo
DEFINICIÓN:
Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Y un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (•), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si:
• V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores). Esto significa que:
1. La suma de vectores es ley de composición interna.
2. La suma de vectores es asociativa.
3. La suma de vectores es conmutativa.
4. Existe un elemento neutro o nulo.
5. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo.
Dónde representa el vector nulo.
• Respecto a su ley de composición externa (•), (producto por un escalar), se cumple:
6. El producto es ley de composición externa.
7. El producto posee asociatividad mixta.
8. El producto es distributivo respecto a la suma en V.
9. El producto es distributivo respecto a la suma en K.
10. Existe el elemento neutro para el producto.
Espacio vectorial Definición: Un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo), si en él se han definido dos operaciones: la suma, +, como operación interna, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u+ v de V, y la multiplicación por escalares como operación externa, de manera que a todo elemento u ∈ V y a todo elemento a ∈ K le hace corresponder el elemento a • u ∈ V,
IMPORTANCIA:
Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar fundamental de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. por esta consabida unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular
APLICACIÓN
Existen muchas formas de aplicar operaciones lineales las operaciones que podemos realizar entre ellos son:
La suma de vectores y la multiplicación por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asocia actividad de estas y la combinación de estas operaciones
Existen muchos tipos de aplicaciones lineales:
*Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno)
*Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen)
*Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva)
*Endomorfismo: cuando V = V'
Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.
Marvin Gomez y Manuel Sifontes
1 jun 2008 | 08:26 PM
Marvin Gomez. CI.18610290
Manuel Sifontes. CI 18
Espacios Vectoriales:
Definición: Un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo), si en él se han definido dos operaciones: la suma, y la multiplicación por escalares.
La suma: como operación interna, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u+ v de V.
La multiplicación por escalares: como operación externa, de manera que a todo elemento u ∈ V y a todo elemento a ∈ K le hace corresponder el elemento a · u ∈ V.
Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:
(S1) (Conmutativa) u + v = v + u para todo u, v de V .
(S2) (Asociativa) u + ( v + w) = ( u + v) + w para todo u, v, w de V .
(S3) Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, tal que u+ 0 = u para todo u de V .
(S4) Para todo u de V existe un elemento, designado por − u y denominado opuesto de u, tal que u + (− u) = 0.
(M1) 1 · u = u para todo u de V , donde 1 denota el elemento unidad de K.
(M2) (Seudoasociativa) a (b u) = (ab) u para todo u de V y todo a, b de K.
(M3) (Distributiva respecto a la suma de escalares) (a + b) u = a u + b u para todo u de V y todo a, b de K.
(M4) (Distributiva respecto a la suma de vectores) a ( u + v) = a u + a v para todo u, v de V y todo a de K. Cualquier conjunto Rn tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares R. No sólo los Rn tienen estructura de espacio vectorial, también la tiene el conjunto de matrices Mn×m, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b] .... A partir de ahora nos centraresmos en espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales, K = R.
Propiedades de los espacios vectoriales Si V es un espacio vectorial, se verifica que:
1. Si u, v y w son elementos de V tales que u + w = v + w entonces u = v.
2. Si 0 es el elemento neutro de V y λ ∈ R entonces λ · 0 = 0.
3. Si v ∈ V entonces 0 · v = 0.
4. Si v ∈ V entonces −1 · v = − v que es el elemento opuesto de v.
5. Si v ∈ V y λ ∈ R tales que λ · v = 0 entonces o bien λ = 0 o bien v = 0.
IMPORTANCIA:
El estudio de los espacios vectoriales es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera).
APLICACIONES:
Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte.
Este campo nos permite estudiar un punto u objeto en todas sus dimensiones. por lo que es una herramienta de suma importancia para la aquitectura, topografia, la fisica,etc.